Exercício
Maximizar lucro = 20×1 + 8×2 + 3×3
Sujeito a 4×1 + x3 ≤ 240 (Recurso A)
4×1 + 2×2 + 2×3 ≤ 320 (Recurso B)
3×1 + 4×2 ≤ 480 (Recurso C)
O quadro a seguir mostra os resultados do processo de solução do Método Simplex:
Base x1 x2 x3 x4 x5 x6 b
x1 1 0 1/4 1/4 0 0 60
x2 0 1 1/2 -1/2 1/2 0 40
x6 0 0 -11/4 5/4 -2 1 140
Lucro 0 0 6 1 4 0 1520
Baseando-se nesse quadro resolva as questões.
1) (1,0 ponto) Qual é o recurso de maior valor para a empresa na otimização da solução?
Justifique sua resposta
2) (2,0 pontos) Determine o intervalo de variação do recurso B que mantém a solução ótima.
3) (2,0 pontos) Determine o intervalo de variação dos coeficientes da função objetivo.
4) (2,0 pontos) Suponha a inclusão de uma nova variável x4 que indica o nível de produção de um novo produto P4. A produção de uma unidade de P4 duas unidades do Recurso A e uma unidade do Recurso C. Determine o intervalo de variação do coeficiente (lucro unitário) dessa nova variável
.
Exercício resolvido — Método Simplex
Uma empresa produz dois produtos A (x₁) e B (x₂). Cada unidade de A requer 1 h de máquina e 2 h de mão-de-obra; cada B requer 2 h de máquina e 1 h de mão-de-obra. Dispõe de 6 h de máquina e 8 h de mão-de-obra. Lucro: A = 5 €, B = 4 €.
Formulação
Max Z = 5x₁ + 4x₂
s.a. x₁ + 2x₂ ≤ 6 (máquina)
2x₁ + x₂ ≤ 8 (mão-de-obra)
x₁, x₂ ≥ 0
Forma padrão (adicionar variáveis de folga x₃, x₄)
Max Z = 5x₁ + 4x₂ + 0x₃ + 0x₄
s.a. x₁ + 2x₂ + x₃ = 6
2x₁ + x₂ + x₄ = 8
x₁, x₂, x₃, x₄ ≥ 0
Quadro 1 — solução base inicial (x₃ = 6, x₄ = 8)
| Cᴮ | xᴮ | x₁ (5) | x₂ (4) | x₃ (0) | x₄ (0) | b | θ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | x₃ | 1 | 2 | 1 | 0 | 6 | 6/1 = 6 |
| 0 | x₄ | 2 ← | 1 | 0 | 1 | 8 | 8/2 = 4 ↑ |
| Cⱼ − Zⱼ | 5 ↑ | 4 | 0 | 0 | Z = 0 |
Entrante: x₁ (maior Cⱼ−Zⱼ = 5). Sainte: x₄ (menor θ = 4). Pivot: 2.
Quadro 2
| Cᴮ | xᴮ | x₁ (5) | x₂ (4) | x₃ (0) | x₄ (0) | b | θ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | x₃ | 0 | 1,5 ← | 1 | −0,5 | 2 | 2/1,5 = 1,33 ↑ |
| 5 | x₁ | 1 | 0,5 | 0 | 0,5 | 4 | 4/0,5 = 8 |
| Cⱼ − Zⱼ | 0 | 1,5 ↑ | 0 | −2,5 | Z = 20 |
Entrante: x₂ (Cⱼ−Zⱼ = 1,5). Sainte: x₃ (θ = 1,33). Pivot: 1,5.
Quadro 3 — solução óptima
| Cᴮ | xᴮ | x₁ (5) | x₂ (4) | x₃ (0) | x₄ (0) | b |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | x₂ | 0 | 1 | 0,67 | −0,33 | 1,33 |
| 5 | x₁ | 1 | 0 | −0,33 | 0,67 | 3,33 |
| Cⱼ − Zⱼ | 0 | 0 | −1,33 | −1,33 | Z = 23,33 |
Todos os Cⱼ−Zⱼ ≤ 0 → solução óptima encontrada.
x₁* = 3,33, x₂* = 1,33, Z* = 23,33 €. Todas as restrições estão activas — não há folga em máquina nem em mão-de-obra.