A teoria das filas de espera (queuing theory) estuda sistemas onde entidades (clientes, peças, pacotes) chegam, aguardam por um serviço e partem. É aplicada em sistemas bancários, hospitais, linhas de produção, call centers e redes informáticas.
Notação de Kendall
Os modelos de filas são descritos pela notação A/B/c/K/N, onde:
- A — distribuição do tempo entre chegadas
- B — distribuição do tempo de serviço
- c — número de servidores
- K — capacidade máxima do sistema (omitido se infinita)
- N — população de clientes (omitido se infinita)
As distribuições mais comuns: M = exponencial/Markoviana, D = determinística, G = geral.
Modelo M/M/1
O modelo mais simples: chegadas Poisson, serviço exponencial, 1 servidor. Parâmetros:
- λ — taxa de chegadas (clientes/hora)
- μ — taxa de serviço (clientes/hora)
- ρ = λ/μ — fator de utilização (deve ser < 1 para sistema estável)
Fórmulas de estado estacionário
| Símbolo | Fórmula | Significado |
|---|---|---|
| ρ | λ / μ | Utilização do servidor |
| L | ρ / (1 − ρ) | Nº médio de clientes no sistema |
| Lq | ρ² / (1 − ρ) | Nº médio de clientes em fila |
| W | 1 / (μ − λ) | Tempo médio no sistema (espera + serviço) |
| Wq | λ / [μ(μ − λ)] | Tempo médio em fila |
Exemplo numérico
λ = 10 clientes/hora, μ = 12 clientes/hora:
- ρ = 10/12 = 0,833 (83,3 % de utilização)
- L = 0,833 / 0,167 = 5,0 clientes em média no sistema
- Lq = 0,833² / 0,167 = 4,2 clientes em média em fila
- W = 1 / (12 − 10) = 0,5 h (30 min) no sistema
- Wq = 10 / (12 × 2) = 0,42 h (25 min) em fila
Note-se que W = Wq + 1/μ = 0,42 + 0,083 ≈ 0,5 h (Lei de Little: L = λW).
Modelo M/M/c
Generalização para c servidores paralelos. Condição de estabilidade: ρ = λ/(c·μ) < 1. A probabilidade de espera P(Wq > 0) calcula-se pela fórmula de Erlang-C:
C(c, a) = [ (a^c / c!) × (c/(c−a)) ] / [ Σ(k=0 a c-1) a^k/k! + (a^c/c!) × c/(c−a) ]
onde a = λ/μ (carga oferecida). Com c servidores:
- Lq = C(c, a) × ρ / (1 − ρ) / c
- Wq = Lq / λ
- W = Wq + 1/μ
- L = λW
Relação com simulação
Quando as distribuições não são exponenciais (ex.: M/G/1) ou o sistema tem múltiplas filas com encaminhamentos complexos, as fórmulas analíticas já não se aplicam diretamente e recorre-se à simulação de eventos discretos.