O método gráfico resolve problemas de Programação Linear com duas variáveis de decisão, desenhando as restrições no plano cartesiano e identificando a região admissível e o ponto ótimo.
Passos do método
- Desenhar as restrições como retas no plano x₁–x₂
- Identificar a região admissível — interseção de todos os semiplanos
- Desenhar a função objetivo Z = c₁x₁ + c₂x₂ como família de retas paralelas
- Mover Z na direção de melhoria até ao ponto extremo da região admissível
- A solução ótima é sempre um vértice da região admissível
Exemplo de minimização
Minimizar Z = x₁ + 4x₂, sujeito a:
- x₁ − 2x₂ ≤ 8
- x₁ ≥ 2
- x₁ + x₂ ≥ 8
- x₁ ≤ 4 (equivalente a −x₁ ≤ −4, ou pode ser escrito como x₁ ≤ 4)
- x₁, x₂ ≥ 0
Os vértices da região admissível são encontrados resolvendo os sistemas de equações das retas que se intersetam. Calculando Z em cada vértice:
| Vértice | x₁ | x₂ | Z = x₁ + 4x₂ |
|---|---|---|---|
| A | 2 | 6 | 26 |
| B | 4 | 4 | 20 |
| C | 8 | 0 | 8 ← mínimo |
| D | 4 | 2 | 12 |
O ponto ótimo é x₁ = 8, x₂ = 0 com Z = 8.
Exemplo de maximização
Maximizar Z = 5x₁ + 4x₂, sujeito a:
- 6x₁ + 4x₂ ≤ 24
- x₁ + 2x₂ ≤ 6
- x₁, x₂ ≥ 0
Vértices e valores de Z:
| Vértice | x₁ | x₂ | Z = 5x₁ + 4x₂ |
|---|---|---|---|
| O | 0 | 0 | 0 |
| A | 0 | 3 | 12 |
| B | 3 | 1,5 | 21 ← máximo |
| C | 4 | 0 | 20 |
Solução ótima: x₁ = 3, x₂ = 1,5, Z = 21. Note que x₂ é fraccionário — para exigir inteiros usa-se Programação Inteira.
Limitações
O método gráfico só funciona com 2 variáveis de decisão. Para problemas com 3 ou mais variáveis usa-se o Método Simplex.
Para desenhar as retas e visualizar a região admissível online: Desmos ou GeoGebra.
Exercício resolvido
Uma empresa produz dois tipos de mobiliário: cadeiras (x₁) e mesas (x₂). Cada cadeira requer 2 h de carpintaria e 1 h de acabamento. Cada mesa requer 3 h de carpintaria e 2 h de acabamento. A empresa dispõe de 12 h semanais de carpintaria e 8 h de acabamento. O lucro por cadeira é de 50 € e por mesa de 80 €.
Formulação
Max Z = 50x₁ + 80x₂
s.a. 2x₁ + 3x₂ ≤ 12 (carpintaria)
x₁ + 2x₂ ≤ 8 (acabamento)
x₁, x₂ ≥ 0
Pontos para traçar as restrições
- 2x₁ + 3x₂ = 12 → A(0 ; 4) e B(6 ; 0)
- x₁ + 2x₂ = 8 → C(0 ; 4) e D(8 ; 0)
Vértices da região admissível e valor de Z
| Ponto | x₁ | x₂ | Z = 50x₁ + 80x₂ |
|---|---|---|---|
| O | 0 | 0 | 0 |
| B | 6 | 0 | 300 |
| E | 0 | 4 | 320 ← máximo |
O ponto E(0 ; 4) resulta da intersecção das duas restrições activas:
resolver 2x₁+3x₂=12 e x₁+2x₂=8 dá x₂=4, x₁=0.
Solução óptima: x₁* = 0, x₂* = 4, Z* = 320 €.
A empresa deve produzir 0 cadeiras e 4 mesas por semana para maximizar o lucro.